De la normalidad al infinito (2)

Volviendo a p ({Æ}), nos habíamos preguntado ¿qué contiene? Pues, precisamente, contiene al vacío, incluido en todo conjunto y a {Æ}. De esto se sigue que contiene dos elementos:

p ({Æ}) = {Æ, {Æ}}

A este múltiple, Badiou lo llama Dos. Y es importante aquí porque es transitivo; es decir, presenta todo lo que representa. Efectivamente, presenta a Æ, ya que le pertenece y a la vez lo representa por medio de la notación {Æ}, que es la de un subconjunto incluido en el Dos y cuyo elemento es Æ; como recordarán, si es un subconjunto es un múltiple incluido.

Badiou demuestra, así, la existencia de por lo menos un múltiple transitivo, el Dos. Pero esto es solo el principio, luego propondrá que existe toda una clase de múltiples transitivos, los ordinales. ¿Cómo los encuentra? Simplemente, aplicando la diseminación mencionada más arriba; es decir, todo múltiple normal presentará solo múltiples normales. Si todo múltiple es múltiple de múltiples –y esto por la regla primaria de la pertenencia—, entonces todo normal contendrá múltiples que, siguiendo esta diseminación, serán también normales. Y ya que los normales son denominados ordinales, podrá decirse que un ordinal es “un múltiple de múltiples que son, a su vez, ordinales. Este concepto articula literalmente toda la ontología, porque es el concepto mismo de la Naturaleza” (154).

A continuación resulta lícito preguntar cuál es la relación entre los ordinales, la respuesta es: la pertenencia exclusivamente. Dicho de otro modo o un ordinal a es el que presenta a otro (por ejemplo b) o es presentado por este otro (b). Sobre ellos recae la prohibición de pertenecerse a sí mismos. (Por lo demás, esta posibilidad que produce los múltiples acontecimientales genera, como recordarán, múltiples que estando incluidos no pertenecen, lo cual es contrario a la definición de los ordinales: su transitividad, a saber, todo lo que pertenece está incluido).

En consecuencia, los ordinales serán, entonces o presentados o presentadores. Esto hace que ellos posean su característica principal: ser sucesivos.

¿Y qué era la sucesividad? Era la relación que se establece entre un múltiple y el único que le sigue a continuación. Dicho de otro modo, entre un múltiple a ordinal y el sucesor de a —cuya   notación es S (a)— no existe ningún otro múltiple. A su vez, a S (a) no le podrá seguir sino S (S (a)), y a este le seguirá exclusivamente S (S (S (a))). Y así, de forma indeterminada.

Estos sucesores son, en el fondo “lo mismo”. Como sostiene Badiou, desde la filosofía clásica esto es visto como una especie de mismidad que no define el infinito: “en esta repetición del efecto de una regla no se obtiene sino lo indefinido de los otros-mismo y no un existente infinito” (174). Por nuestra parte, podríamos poner en relación estos otros-mismos con los resultados asfixiantes de la episteme renacentista de la que habla Foucault en Las palabras y las cosas. Ella estaba dominada por la analogía. Según sostiene, hasta finales del siglo XVI eran cuatro los modos de procesar comprensiones del mundo a partir de la similitud, noción fundamental. Se trata de la convenientia, la aemulatio, la analogía y la simpatía. Sin embargo, este tipo de organización requiere de un corte porque corre el peligro de quedar en la pura amalga indiscernible.

En una episteme completamente dominada por la similitud, el conocimiento corre el riesgo de enroscarse sobre sí mismo; un conocimiento como este se condena a no conocer sino la misma cosa en un recorrido que es indeterminado. Frente a este horizonte cerrado, la categoría de “microcosmos” permite configurar límites y una sistematicidad al movimiento desbordante de las similitudes; el concepto de microcosmos articulado al de macrocosmos

[i]ndica que existe un gran mundo –dice Foucault– y que su perímetro traza el límite de todas las cosas creadas; que en el otro extremo, existe una criatura privilegiada que reproduce, dentro de sus restringidas dimensiones, el orden inmenso del cielo, de los astros, de las montañas, de los ríos y de las tormentas; y que entre los límites efectivos de esta analogía constitutiva, se despliega el juego de las semejanzas.

Se trata pues de poner límites a un universo de sentido dominado por el goce desbordante de las similitudes que corren el riesgo de confundirlo todo. Volviendo a la ontología, podríamos decir que este universo cerrado de la multiplicación de lo mismo es aquel que resulta descrito matemáticamente por la sucesividad de los ordinales.

Lo que nos interesa es que, paradójicamente, este universo de la sucesividad nos permite, a través de su corte, reconocer el infinito.

* * *

Pero, ¿cómo definir el infinito? Para ello, Badiou apela al concepto de minimalidad, que es una propiedad de los ordinales. Ella expresa que si existe un ordinal que posee una cierta propiedad debe haber otro que, poseyéndola, sea al el último al cual pueda atribuirse. Dicho de otro modo, este múltiple poseerá múltiples que ya no tengan dicha propiedad. Este será el “más pequeño”.

Tomando esto en cuenta, podemos decir que el enunciado “Hay un múltiple ordinal límite” apela a la minimalidad; es decir, este enunciado sostiene que existe por lo menos uno cuyos elementos no sean límites, siendo que comparte la propiedad de ser límite con otros múltiples “más grandes”. Obtenemos así al más pequeño de los límites, cuyos múltiples son sucesores, pero sin la propiedad de límite. Se denomina ω₀.

Este es un ordinal infinito y la definición del infinito se establece sobre el que se convierte en su borde. Si algún múltiple ordinal es infinito diremos que es ω₀ y si pertenece a ω₀ será finito. En consecuencia es el borde entre lo finito y lo infinito. Además lo único que presenta este infinito son múltiples ordinales finitos.

Pero puede haber un sucesor de ω₀ que no sería sino ω₀ È {ω₀} = S (ω₀); pero ω₀ sería el minimal al cual solo pertenecen finitos: “Entre los ordinales finitos –aquellos que pertenecen a ω₀– y el propio ω₀ hay, por lo tanto, un abismo sin mediación” (180 – 181).

Propone entonces que, en el orden de la existencia, el finito es primero, comenzando con Æ; pero, en el orden del concepto, lo primero es ω₀ : “Es solo en retroacción de la existencia del ordinal límite que calificamos de finitos a los conjuntos Æ, {Æ}, etc.” (181). De este modo, y solo después de la decisión ontológica en relación con el infinito, lo finito es “región del ser”, en consecuencia, la definición de lo finito queda cabalmente delimitada solo a partir del advenimiento de la decisión por lo infinito. 

http://mjmondonedom.blogspot.com/2012/10/de-la-normalidad-al-infinito-1.html

De la normalidad al infinito (1)

Por causa del modo que hemos asumido para observar los desarrollos ontológicos de Badiou –en la clase de Teoría IV, los estamos recorriendo punto por punto, coma por coma–, no tenemos una visión de conjunto que nos permita seguir avanzando. No niego que este modo de adentrarse es útil con el tipo de información que estamos tratando de procesar. Pero creo que, en este punto, debemos asumir una perspectiva más global para  entender la orientación de su argumentación y así poder acceder al camino de la demostración matemática del acontecimiento.

Elijo para este objetivo, establecer la línea de continuidad entre el “múltiple normal” y la apuesta moderna por el infinito. Comencemos:

Qué es un múltiple normal. En los términos de la teoría de conjuntos, es aquel que tiene por elementos a los subconjuntos que contiene. En él, todo lo que es presentado, es decir que pertenece, es también representado o, dicho de otro modo, está incluido. La normalidad, así, se distingue del múltiple singular descrito como lo presentado y no representado y del múltiple llamado excrecencia, que está representado pero no presentado.

De este modo, Badiou le adjudica al múltiple normal la cualidad de ser el equilibrio entre la presentación de la estructura (porque la estructura tiene esa función, presentar) y la representación de la metaestructura (cuya función es, pues, la de representar). Este equilibrio le hace pensar, a continuación, en la Naturaleza, que presenta cada elemento que representa; en este sentido podríamos decir que todo lo que pertenece a ella tiene un lugar adecuado, no existe un fenómeno natural que sea excesivo o nocivo. Para decirlo con un poco de irreverencia y con una imagen cabal, es como en la película de Disney El rey León: se trata del “ciclo sin fin” por medio del cual el pequeño Simba es necesariamente el siguiente rey por ser hijo del rey: su presentación en el mundo de la Selva está representada por su carácter real. No solo es un cachorro (presentación), sino que es el sucesor (representación).

En consecuencia, todo lo que es posible de ser considerado como un múltiple natural es, a su vez, múltiple de múltiples naturales; estos a su vez solo presentarán múltiples naturales y así sucesivamente; por este motivo, Badiou sostendrá que la naturaleza es “homogénea en diseminación: lo que un múltiple natural presenta es natural […]. La naturaleza no se contradice jamás a sí misma” (149).

Independientemente de la analogía con la naturaleza tipo Disney y en exclusiva relación con la teoría de conjuntos cabe preguntarse si existe por lo menos un múltiple así, que presenta todo lo que representa. Como este tipo de conjuntos es llamado transitivo, Badiou se pregunta: “¿Existe por lo menos un conjunto transitivo?”.

Para responder a esta pregunta articula su argumentación con el nombre del vacío. Este puede definirse como el múltiple-de-nada, “inextensional” e “indiferente”. Recordemos esta postulación:

“La estructura del enunciado que inscribe la «primera» existencia es entonces, en verdad, la negación de toda existencia según la pertenencia. Este enunciado dirá algo así como: «Existe aquello de lo que se puede afirmar que no le pertenece ninguna existencia». O bien: «Existe un "múltiple" que está sustraído a la Idea primitiva de lo múltiple»” (83).

De esto se sigue que el nombre del vacío, Æ, es el múltiple de nada que existe y que no obstante contradice la regla primordial de todo múltiple: la pertenencia. Obviamente, se trata de un múltiple que, sin embargo, presenta nada, es decir que a él nada le pertenece. Este múltiple, entonces, se postula como el “primero”: aquel que es “anterior” a la relación ontológica básica.

Volviendo al múltiple normal, su demostración se sostiene en este nombre del vacío, como ya dijimos, pero además en el singleton del vacío, es decir, en la puesta en uno del nombre del vacío. El singleton pone en uno al vacío por que es el conjunto que lo tiene como elemento, es más, lo tiene como único elemento. Su notación es, como recordarán, {Æ}.

Según una regla muy elemental, el conjunto de los subconjuntos –axioma básico de la teoría ontológica de Badiou—, si existe un conjunto a, entonces existen el conjunto de todos los subconjuntos de a, este es escrito así p (a). Ahora bien, si existe {Æ}, entonces debe existir p ({Æ}). Pero, ¿cuáles son sus subconjuntos o partes? La respuesta es, obviamente {Æ}, pero también Æ porque, este es un subconjunto de todo múltiple. Y es que para esta teoría matemática el nombre del vacío, Æ, es como el espíritu santo: está en todas partes o, más precisamente, está como una parte en todos los múltiples.

El argumento al respecto va como sigue:

[…] desde el momento en que el todo de una situación está bajo la ley de lo uno y de la consistencia, es necesario que, res­pecto de la inmanencia de una situación, lo múltiple puro, absolutamente impresentable según la cuenta, sea nada. Pero el ser-nada se distingue del no-ser, tanto como el «hay» se distingue del ser” (68-69).

Dicho de otro modo, si todo cuenta en una presentación, nada escapa a la cuenta o, más precisamente, la nada es incontable. Esta nada sustraída o sustractiva es, pues, el vacío cuyo nombre, Æ, designa aquello inconsistente que no cuenta en toda presentación. Así, toda presentación contiene –porque no presenta— a Æ.

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