miércoles, octubre 24, 2012

De la normalidad al infinito (2)



Volviendo a p ({Æ}), nos habíamos preguntado ¿qué contiene? Pues, precisamente, contiene al vacío, incluido en todo conjunto y a {Æ}. De esto se sigue que contiene dos elementos:

p ({Æ}) = {Æ, {Æ}}

A este múltiple, Badiou lo llama Dos. Y es importante aquí porque es transitivo; es decir, presenta todo lo que representa. Efectivamente, presenta a Æ, ya que le pertenece y a la vez lo representa por medio de la notación {Æ}, que es la de un subconjunto incluido en el Dos y cuyo elemento es Æ; como recordarán, si es un subconjunto es un múltiple incluido.

Badiou demuestra, así, la existencia de por lo menos un múltiple transitivo, el Dos. Pero esto es solo el principio, luego propondrá que existe toda una clase de múltiples transitivos, los ordinales. ¿Cómo los encuentra? Simplemente, aplicando la diseminación mencionada más arriba; es decir, todo múltiple normal presentará solo múltiples normales. Si todo múltiple es múltiple de múltiples –y esto por la regla primaria de la pertenencia—, entonces todo normal contendrá múltiples que, siguiendo esta diseminación, serán también normales. Y ya que los normales son denominados ordinales, podrá decirse que un ordinal es “un múltiple de múltiples que son, a su vez, ordinales. Este concepto articula literalmente toda la ontología, porque es el concepto mismo de la Naturaleza” (154).

A continuación resulta lícito preguntar cuál es la relación entre los ordinales, la respuesta es: la pertenencia exclusivamente. Dicho de otro modo o un ordinal a es el que presenta a otro (por ejemplo b) o es presentado por este otro (b). Sobre ellos recae la prohibición de pertenecerse a sí mismos. (Por lo demás, esta posibilidad que produce los múltiples acontecimientales genera, como recordarán, múltiples que estando incluidos no pertenecen, lo cual es contrario a la definición de los ordinales: su transitividad, a saber, todo lo que pertenece está incluido).

En consecuencia, los ordinales serán, entonces o presentados o presentadores. Esto hace que ellos posean su característica principal: ser sucesivos.

¿Y qué era la sucesividad? Era la relación que se establece entre un múltiple y el único que le sigue a continuación. Dicho de otro modo, entre un múltiple a ordinal y el sucesor de a —cuya   notación es S (a)— no existe ningún otro múltiple. A su vez, a S (a) no le podrá seguir sino S (S (a)), y a este le seguirá exclusivamente S (S (S (a))). Y así, de forma indeterminada.

Estos sucesores son, en el fondo “lo mismo”. Como sostiene Badiou, desde la filosofía clásica esto es visto como una especie de mismidad que no define el infinito: “en esta repetición del efecto de una regla no se obtiene sino lo indefinido de los otros-mismo y no un existente infinito” (174). Por nuestra parte, podríamos poner en relación estos otros-mismos con los resultados asfixiantes de la episteme renacentista de la que habla Foucault en Las palabras y las cosas. Ella estaba dominada por la analogía. Según sostiene, hasta finales del siglo XVI eran cuatro los modos de procesar comprensiones del mundo a partir de la similitud, noción fundamental. Se trata de la convenientia, la aemulatio, la analogía y la simpatía. Sin embargo, este tipo de organización requiere de un corte porque corre el peligro de quedar en la pura amalga indiscernible.

En una episteme completamente dominada por la similitud, el conocimiento corre el riesgo de enroscarse sobre sí mismo; un conocimiento como este se condena a no conocer sino la misma cosa en un recorrido que es indeterminado. Frente a este horizonte cerrado, la categoría de “microcosmos” permite configurar límites y una sistematicidad al movimiento desbordante de las similitudes; el concepto de microcosmos articulado al de macrocosmos

[i]ndica que existe un gran mundo –dice Foucault– y que su perímetro traza el límite de todas las cosas creadas; que en el otro extremo, existe una criatura privilegiada que reproduce, dentro de sus restringidas dimensiones, el orden inmenso del cielo, de los astros, de las montañas, de los ríos y de las tormentas; y que entre los límites efectivos de esta analogía constitutiva, se despliega el juego de las semejanzas.

Se trata pues de poner límites a un universo de sentido dominado por el goce desbordante de las similitudes que corren el riesgo de confundirlo todo. Volviendo a la ontología, podríamos decir que este universo cerrado de la multiplicación de lo mismo es aquel que resulta descrito matemáticamente por la sucesividad de los ordinales.

Lo que nos interesa es que, paradójicamente, este universo de la sucesividad nos permite, a través de su corte, reconocer el infinito.

* * *

Pero, ¿cómo definir el infinito? Para ello, Badiou apela al concepto de minimalidad, que es una propiedad de los ordinales. Ella expresa que si existe un ordinal que posee una cierta propiedad debe haber otro que, poseyéndola, sea al el último al cual pueda atribuirse. Dicho de otro modo, este múltiple poseerá múltiples que ya no tengan dicha propiedad. Este será el “más pequeño”.

Tomando esto en cuenta, podemos decir que el enunciado “Hay un múltiple ordinal límite” apela a la minimalidad; es decir, este enunciado sostiene que existe por lo menos uno cuyos elementos no sean límites, siendo que comparte la propiedad de ser límite con otros múltiples “más grandes”. Obtenemos así al más pequeño de los límites, cuyos múltiples son sucesores, pero sin la propiedad de límite. Se denomina ω0.

Este es un ordinal infinito y la definición del infinito se establece sobre el que se convierte en su borde. Si algún múltiple ordinal es infinito diremos que es ω0 y si pertenece a ω0 será finito. En consecuencia es el borde entre lo finito y lo infinito. Además lo único que presenta este infinito son múltiples ordinales finitos.

Pero puede haber un sucesor de ω0 que no sería sino ω0 È0} = S0); pero ω0 sería el minimal al cual solo pertenecen finitos: “Entre los ordinales finitos –aquellos que pertenecen a ω0– y el propio ω0 hay, por lo tanto, un abismo sin mediación” (180 – 181).

Propone entonces que, en el orden de la existencia, el finito es primero, comenzando con Æ; pero, en el orden del concepto, lo primero es ω0 : “Es solo en retroacción de la existencia del ordinal límite que calificamos de finitos a los conjuntos Æ, {Æ}, etc.” (181). De este modo, y solo después de la decisión ontológica en relación con el infinito, lo finito es “región del ser”, en consecuencia, la definición de lo finito queda cabalmente delimitada solo a partir del advenimiento de la decisión por lo infinito. 


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